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繰返し紋様とは何か


繰返し紋様と対称性

元になる図形を、ある規則性を持って平面上に繰り返して配置したものが、繰返し紋様です。では、ある規則性とは何か?ここで出てくるキーワードが「対称性」です。

対称という言葉は二つのものが対応して釣り合っている事を意味します。例えば以下の絵は左右対称の絵です。

左右対称の例

幾何学で言う対称性はもう少し定義がはっきりしていて、コピーした図形を動かして元の図形と重ねて、ちょうどぴったり重なれば対称です。図形を動かす際のルールは平行移動する、裏返す、回転するの三つを使う事になっています。例えば先ほど例にあげた左右対称の図の場合は、図形を裏返せば元の図形にぴったり重ねる事ができますから対称です。


一次元の繰返し紋様

裏返す、もしくは回転する事で元の図形にぴったり合わせる事のできる図形があるのはいいとして、平行移動して元の図形にぴったり合わせる事ができる図形なんてないのではないか、と思いましたか?平行移動というのは、要するに位置をずらす事ですから、元の図形とぴったり合わせられる筈がない・・・確かにそうです、単独の図形について考えるとすれば。

例えば一直線にそって同じ図形が等間隔に並んでいる場合を考えてみます。この図形は左右とも無限に続いていると考えて下さい。

左右に無限に続く絵

この繰返し図形は、左右いずれかにちょうど一コマ分平行移動すると、元の図形とぴったり重なります。したがって対称です。ずらしたら端の方でつじつまが合わなくなってぴったり重ならない?大丈夫です。端というものはありません。何せ無限に続いている訳ですから。

こういった繰返し図形の対称性は、元になる図形を裏返したり回転させたりしながら並べていく事で生み出されます。今のは一次元の繰返し紋様の例ですが、これを一方向ではなく違った二つの方向へ適用する事で、二次元の繰返し紋様ができます。


二次元の繰返し紋様

二次元の対称性の型は17種類存在する事が数学的に証明されているのだそうです。その理論や証明については数学に詳しい方にお任せするとして、ここではその結論だけをいただきましょう。17種類にはそれぞれ固有の名前がついていて、具体的にはp1, p2, pm, pg, cm, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3m1, p31m, p6, p6mとなっています。この17種類の対称性の型が「ある規則性」の正体です。

pやcというのは格子の種類を表します。pは単純な格子という意味でprimitiveのp、cは中心のある格子という意味でcenterのcです。

mはmirrorのmで、鏡に映したように上下や左右を反転させる操作を表します。これまでの説明では裏返すという言葉を使ってきましたが、幾何学では鏡映という用語を使います。gはglideのgで、すべり鏡映を意味します。すべり鏡映というのは平行移動と鏡映を同時に行う操作の事です。下図はすべり鏡映の例ですが、この場合は図の中心線に沿って平行移動しながら鏡映操作が施されています。

すべり鏡映の例

中に含まれる数値は回転を表しています。180度回転の場合、二回同じ操作をくり返すと元に戻りますので、二つ割り回転と呼びます。同様に120度回転を三つ割回転、90度回転を四つ割り回転の様に呼びます。例えば対称の型名に6が含まれている場合は、六つ割り回転が含まれているという事です。

もう少しきちんとした説明が欲しい方は「美の幾何学」を参照して下さい。


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